Учитель математики полякова елена александровна

18.11.2021
0
30



Репетитор Полякова Елена Александровна (математика, физика, русский язык, английский язык)
Полякова Елена Александровна

оценка

5,00

$$$$

Полякова Елена Александровна

Предметы: русский язык, физика, математика, английский язык.

Диплом МФТИ, факультет молекулярной и биологической физики (2012 г.).
1 год стажировалась в Финляндии.
Сертификат TOEFL (2013 г.).
Преподаватель Заочной физико-технической школы при МФТИ.

Выезд: Север, Цветной бульвар, Чеховская, Тверская.

Цены и варианты занятий

Ставка: 700 руб. / ч

Adblock test (Why?)


учитель математики полякова елена александровна
Методическая копилка | Образовательная социальная сеть

Полякова    Елена    Александровна,    учитель     математики

Изучение темы

«УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ»

в профильном XI классе (методы решения)

(Методические рекомендации и поурочное планирование)

«Применение производной при решении некоторых задач с параметрами»

(IX блок темы  - уроки 1 – 4)

Автор опыта:

Полякова Елена Александровна,

учитель высшей квалификационной категории

Соросовский учитель математики

Белгород, 2008г.

Полякова    Елена    Александровна,    учитель     математики

Уроки 1-4

Тема: «Применение производной при решении некоторых задач с параметрами»

Основные задачи уроков. Познакомить учащихся с типами задач с параметрами, в решении которых можно использовать аппарат математического анализа, изучаемого в школе. Показать применение рассмотренного метода в решении задач.

Примерный план уроков (уроки 35-32 удачнее всего провести в форме лекции-беседы).

I.        На примере решения задачи:

«Найти число корней уравнения  в зависимости от параметра а»

показать учащимся, что существуют задачи с параметрами, решение которых можно проиллюстрировать с помощью наглядно-графических соображений, где при построении необходимого графического образа приходится обратиться к аппарату производной

Решение.

Выразим а через х: . Поскольку  при любых х, то . Легко видеть, что функция  непрерывна на числовой оси; . При х=1 . Если , то функция  возрастает, если , то  убывает. Значит, х=1 – точка максимума функции ,. Далее установим, как ведёт себя функция  при .

Обращаемся к понятию предела функции:

При : , а при : .

График функции  показан на рис.1.

Полякова    Елена    Александровна,    учитель     математики

рисРис.1

По нему видно, что при  уравнение  имеет одно решение, при  - два решения. При других значениях параметра а это уравнение не имеет решений.

Ответ: при  одно решение; при  - два решения; при других а решений нет.

Подвести учащихся к выводу о том, что:

метод, рассматриваемый в таких заданиях, состоит в следующем.

  • Из уравнения с переменной х и параметром а выражаем параметр а как функцию от х: .
  • В координатной плоскости xOa строим график функции .
  • Рассматриваем прямые а=const и выделяем те промежутки оси Оа, на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: а)не пересекают график функции , б)пересекают график функции  в одной точке, в)в двух точках, г)в трёх точках и т. д.
  • Если поставлена задача найти значения х, то выражаем х через а для каждого из найденных промежутков значений а в отдельности

III.        На примере решения других задач показать учащимся, что описанный метод очень нагляден. Кроме того, в нём находят применение все основные понятия курса алгебры и начал анализа. Задействуется весь набор знаний, связанных с исследованием функции: применение производной к определению точек экстремума, нахождение предела функции, асимптот…

Полякова    Елена    Александровна,    учитель     математики

Задача 1.Найти все значения параметра а, при которых уравнение  имеет единственное решение.

Решение. По смыслу задания запишем систему:

Рассмотрим функцию , где ;

; , если .

Знак         +                        -                        -                        +

Поведение                -2                                0                        2                х

                        max                                разрыв                        min         

; .

Построим график функции  или ,

где  и .

Заметим, что  .

Асимптоты графика: - вертикальная;

                         - наклонная.

Полякова    Елена    Александровна,    учитель     математики

з        Рис.4

Очевидно, что прямая а=const будет пересекать график функции  в единственной точке, если , значит, уравнение  имеет единственное решение, при ; ; .

Ответ: при ; ; .

Задача 2. При каких значениях а система уравнений  имеет два решения?

Решение. Учтём, что

Перепишем первое уравнение системы:

Полякова    Елена    Александровна,    учитель     математики

Исходная система принимает вид , где  и

Рассмотрим функцию , где

и , если   , что

удовлетворяет условию

Покажем знаки производной  и поведение функции  при всех значениях х из промежутков , .Заметим, что ,  и ,.

Знак                 -                +                        +                        -

Поведение 2                        3                4                                6                х

                                min                разрыв                                max        

Заметим, что ; .

Найдём нули функции: , если , где , что удовлетворяет условию

Оказалось, что у функции  единственный нуль; тогда, очевидно, что при  .

Вертикальные асимптоты графика функции -  и .

Полякова    Елена    Александровна,    учитель     математики

Построим график функции .

1        Рис.5

Прямая а=const будет пересекать график функции  в двух точках, если ; , значит, система уравнений  имеет два решения, при ; .

Ответ: при ; .

Задача 3.При каких значениях а уравнение  имеет решение?

Решение. Перепишем уравнение: .

Сделаем замену, пусть , где , тогда

.

Рассмотрим функцию , где  и найдём множество её значений.

;

Полякова    Елена    Александровна,    учитель     математики

;; , , , , что удовлетворяет условию ..

Наибольшее значение функции  на отрезке  равно , наименьшее значение функции равно .

Значит, уравнение  имеет решение при всех .

Ответ: при .

IV.        Показать применение описанного метода при решении других задач с параметром.

Задача 4. Найти все значения параметра а, при которых графики функций  и  имеют ровно две общие точки.

Решение. По смыслу задания , где , тогда

решаем уравнение  (1).

Обозначим: .

По смыслу задания уравнение (1) должно иметь ровно два различных корня, тогда один из них должен иметь кратность 2, (например, ) и тогда , откуда следует, что

Полякова    Елена    Александровна,    учитель     математики

и при  , т.е. - корень и уравнения , и уравнения .

Для  найдём производную .

.

Решаем уравнение , т.е. уравнение

, где , тогда либо

, либо .

Пусть , тогда , т.е. , ,

откуда .

  • Если , то, подставив это значение в уравнение (1), получим уравнение  или , где один корень .
  • Если , то уравнение (1) принимает вид  или , где один из корней .
  • По схеме Горнера устанавливаем, что , значит, в уравнении  корни равны 1 и .

Очевидно, что , т.е. при  в уравнении (1) ровно 2 корня: , , а это означает, что графики функций  и  при  имеют ровно две общие точки с абсциссами  и .

Полякова    Елена    Александровна,    учитель     математики

Пусть , тогда , решаем уравнение

 или ,

, , где  либо ,

т.е., тогда

  • Если , то корень один  (см. записи выше).
  • Если , то уравнение (1) принимает вид  или ,

где , т.е. , а это означает, что графики функций  и  при  имеют ровно две общие точки с абсциссами  и .

  • Если  то уравнение (1) принимает вид , где по схеме Горнера устанавливаем, что

 и

а это означает, что графики функций  и  при  имеют ровно две общие точки с абсциссами  и .

Ответ: при ; ;  графики функций  и  имеют ровно две общие точки.

Задача 5 .Дана система неравенств

 

Полякова    Елена    Александровна,    учитель     математики

При каждом значении а решения системы принадлежат отрезкам, параллельным оси. Найти значения а, при которых множество решений системы есть отрезок наименьшей длины в координатной плоскости .

Решение. Перепишем заданную систему в виде  Строим графики уравнений:  (гипербола),  (парабола) и  (окружность).

оранжевый        Рис.3

На рис.3 множество точек, координаты которых являются решениями данной системы, выделены штриховкой. Сначала кажется, что при  в выделенной области существуют отрезки (принадлежащие а=const) сколь угодно малой длины. Но при таких а  в этой области оказывается не один отрезок прямой а=const, а объединение двух непересекающихся отрезков.

Множество решений в виде одного отрезка получается при каждом , где .

Из рисунка видно, что АВ – первый из таких отрезков.

При возрастании а отрезки прямых а=const, лежащие в выделенной области, увеличиваются, доходя до ЕF, затем уменьшаются до какого-то отрезка MN и снова возрастают.

Какой же из отрезков меньше: AB или MN?

Полякова    Елена    Александровна,    учитель     математики

Полагая, что  и  - абсциссы точек А и В соответственно, находим длину АВ:

.

Пусть  - абсцисса точки М(N).

Точка М лежит на левой ветви параболы , т.е. , точка N расположена на верхней части гиперболы , т.е.  (в обоих случаях a>0). Значит, длина отрезка MN есть функция от а:

, где a>0, т.е. , тогда

 и , если ,

.

По схеме Горнера устанавливаем, что

, т.е. ,

откуда

Знак

                                0                         -                 8                +

Поведение                                                 min                        а

Оказалось, что  – точка минимума функции ; .

Значит, MN=АВ и существуют два значения а, дающие наименьшую длину искомых отрезков, т.е.  и

Ответ: ,

V.        Дома: (задания для самостоятельного решения и подготовки к зачётной работе)

Полякова    Елена    Александровна,    учитель     математики

Найдите все значения параметра а при которых уравнение а); б); в) имеет единственное решение (выполнить одно из предложенных).

Ответ: а)при ; ; ; б)при ; ; ; в) при ; ; .

При каких значениях а система  имеет два решения?

Ответ: при ; .

При каких значениях а система  имеет единственное решение?

Ответ: при ; ; .

При каких значениях параметра а уравнение а); б) имеет решение?

Ответ: а)при ; б)при .

(Выполнить одно из предложенных заданий). Найти все значения параметра а, при которых графики функций

а) и ;

б) и ;

в) и  имеют ровно две общие точки.

Ответ: а) при ; ; ; б)при ; ; ; в); ; .

VI. Подвести итог, отметив, что рассмотренные задачи могут быть решены и иными методами

Adblock test (Why?)



Полякова Елена Александровна - Учительский сайт

Полякова Елена Александровна

  • учитель математики
  • МБОУ СОШ № 32
  • Россия

Категории по интересам:

Adblock test (Why?)


Понравиласть статья? Жми лайк или расскажи своим друзьям!
Теги к новости:
Комментарии
Добавить комментарий
выбрать фон